k-bitのXORを取ると2^k-1になるような2つの非負整数から2^0~2^kの奇数を作れる

k-bitの整数を考える。
$a \oplus b = 2^k-1$ を満たすような2つのk-bitの整数a,b( $a\geq b$ )の組を考える。
全ての組について考えた時、この2つの整数a,bから、 $a-b$ で $[2^0,2^k]$ の範囲の全ての奇数を作ることができる。

具体例

例えば3-bitの場合を考える。
このとき、a,bのペアとして次のものが考えられる。
(b111,b000), (b110, b001), (b101, b010), (b100, b011)
そのため、
$b111-b000 = 7(b111)$
$b110-b001 = 5(b101)$
$b101-b010 = 3(b011)$
$b100-b011 = 1(b001)$
と、 $[2^0,2^3]$ の奇数を全て作ることが出来ている。

証明(かなり厳密性がない気がする)

これは多分、帰納的に示すとよい。（構成的に示したかったが上手く構成出来なかった。）

まず、1-bitの時を考える。
このとき、(a,b)の組として考えられるのは(1,0)で、1-0=1より $[2^0, 2^1]$ の範囲の奇数を作ることが出来ている。

次に、k-bitの場合に上の命題が成立するとする。
この時、k+1 bitの場合について考える。
$[2^0, 2^{k+1}]$ の範囲にある奇数は、 $[2^0, 2^{k}]$ の奇数の先頭に0を付けたものと、1を付けたものから構成される。（たとえば、3-bitの場合は2-bitの $\{b00,b01,b10,b11\}$ の先頭に0を付けたもの $\{b000,b001,b010,b011\}$ と先頭に1をつけたもの $\{b100,b101,b110,b111\}$ で構成される）

先頭に1をつけたものについては、k-bitのときの(a,b)の組のaの先頭に1を,bの先頭に0つけると構成できる。この構成により $\ [2^k+1, 2^{k+1}]$ の範囲の奇数を全て生成することができる。
（例えば、2-bitの場合のa,bの組 $(b10,b01)$ に対して、3-bitの $(b110,b001)$ を作ると2-bitの2-1=1から3-bitでは6-1=5を作ることができる。）
これは筆算を使うとイメージしやすい。

先頭に0をつけたものについては、k-bitのときの(a,b)の組のbの先頭に1を引いたものをk+1bitのときのaとして、k-bitのときの(a,b)の組のaの先頭に0を付けたものをk+1bitのときのbとすれば、 $[2^0, 2^k]$ の範囲の奇数を構成できる。
（例えば、2-bitの場合のa,b,の組み $(b10,b01)$ に対して、3-bitの $(b101,b010)$ を作ると2-1=1から5-2=3を作ることができる。）